Биография художника мало известна. Т.Е. Мягков был вольноотпущенным из государственных крестьян. Раннее творчество художника тесно связано с Лебедянским уездом Тамбовской губернии, где его отец Е.П. Мягков в 1836 году приобрел усадьбу в селе Тёплое.

Не ранее 1832 года Мягков поступил в Московское училище живописи, ваяния и зодчества. Проявил себя в портретной и церковной живописи. Работал в храмах Москвы, Тулы, Твери, Ельца, Задонска, Лебедяни. В 1842 году получил звание неклассного (свободного) художника за картину «Старуха с девушкой, подающей милостыню мальчику», выполненную с натуры. В 1843 году принял участие в выставке ученических работ, устроенной по случаю создания Московского училища живописи и ваяния и отмечен как «обещающий быть портретистом отличным».

В 1845 году за картину «Семейный портрет» («Семейство за чайным столом», «Семейная сцена») был награжден от Императорской Академии художеств серебряной медалью второго достоинства.

Считается, что на картине изображены сестры Загряжские: Варвара Андреевна (1810–1878), в замужестве Беликова; Надежда Андреевна (ум. 1889), в замужестве Плечко; Софья Андреевна, в замужестве Чулкова; а также Алексей Дмитриевич Плечко (1826–1882), муж Надежды Андреевны.

Родные запечатлены в тесном семейном кругу, который наглядно демонстрирует патриархальный уклад русского общества XIX столетия. Композиционное решение и сюжет представленной сцены домашнего чаепития просты. При этом портрет производит впечатление внушительными размерами и обилием декоративных деталей.

Фоном для группы фигур, расположенных по классической схеме правильного треугольника, служит насыщенный по цвету бордовый занавес, отделяющий пространство со столом от соседней комнаты, обитой похожим по колориту штофом, где на стене виден угол картины в багетной раме. На столе, накрытом белой скатертью, представлен натюрморт, главная деталь которого – широкий граненый самовар, предмет быта зажиточных хозяев. Рядом с ним стоят фарфоровые чашки, сливочник и сахарница бежевого оттенка. Дополняет настольный набор для чаепития тяжелая подставка с горящей свечой. Ее пламя, отражающееся на тулове самовара, служит символом семейного очага и тепла родственных отношений.

Особое внимание художник уделяет облику моделей. Их одежда написана сочными мазками, красивыми цветовыми переливами. Особое внимание обращают на себя кружевные элементы одежды сестер – белоснежные воротники и чепец, которые выделяются тонкостью рисунка.

Станковых произведений Т.Е. Мягкова сохранилось немного. В собрании Государственной Третьяковской галереи представлена еще одна живописная работа – «Портрет неизвестного мужчины».