Художник Греков родился в семье донского казака. «Детство я провел в трудовой семье земледельцев, – вспоминал он позднее, – мои впечатления были: сельский быт, степи, лошади, волы... Уклад жизни нашей был трудовой...». От отца и всей своей многочисленной родни он унаследовал любовь к лошадям. Поэтому неслучайно, обучаясь в Высшем художественном училище Императорской Академии художеств, студент Греков, не раздумывая, перешел в мастерскую батальной живописи профессора-руководителя Франца Рубо.

Во время Гражданской войны Греков служил в 1-й Конной армии, рисовал карикатуры, плакаты, декорации к спектаклям. «В Красной Армии интересовались искусством. На него [искусство] смотрели серьезно, и мы, художники, получали какую-то значимость». По просьбе командующего войсками, Климента Ворошилова, в 1923 году Греков приступил к работе над живописной эпопеей об истории Красной армии. Ему особенно хотелось написать картину о боевой конармейской тачанке, мчащейся под градом вражеских пуль, опережая пехоту. Художник встречался с Семёном Будённым, в годы Гражданской войны командующим 1-й Конной армией, беседовал с бойцами и командирами отрядов. Несколько месяцев художник находился в полосе фронта, в непосредственной близости к боям. Мучительно долго Греков искал нужную композицию, писал степь, грозовое небо, облако пыли от конских копыт, делал наброски лошадей в движении галопом.

Так была написана его знаменитая картина «Тачанка», которой сам художник дал название «Пулеметам продвинуться вперед!». Прославленную в стихах и песнях легендарную тачанку Греков показал как художественный символ эпохи революции. В едином порыве изображена четверка лошадей, запряженных в тачанку, и сидящие в ней красноармейцы. Напряженный колорит картины повышает ее эмоциональное звучание. Все слилось в едином бурном движении: и мчащиеся лошади, и тачанка, и люди. Произведение стало вехой в творчестве художника.

«Тачанка» экспонировалась в 1925 году на 7-й выставке Ассоциации художников революционной России в Москве и принесла Грекому известность. В этот год художник был принят в Ассоциацию, вернулся в свой родной Новочеркасск, где организовал живописную студию, отдавая много сил воспитанию молодежи. После смерти Митрофана Грекова его именем в 1935 году была названа Студия военных художников в Москве.