Домогацкий происходил из состоятельной дворянской семьи, получил юридическое образование, окончив в 1902 году Московский университет. Сначала скульптурой занимался как любитель, брал частные уроки у С.М. Волнухина. В середине 1900-х годов Домогацкий начал работать самостоятельно. После революции был активным участником культурной и художественной жизни Москвы. В 1923 году стал действительным членом Государственной академии художественных наук, занимал пост председателя скульптурной секции. В 1923–1925 годах работал в Третьяковской галерее, возглавляя созданный им отдел скульптуры. Был членом ОРС, вошел в число его учредителей и в 1925–1928 годах исполнял обязанности председателя общества. Им написан ряд фундаментальных исследований по проблемам теории и истории скульптуры.

Лучшие произведения скульптора относятся к жанру портрета. В его наследии есть также ряд монументальных и монументально-декоративных замыслов, надгробий. Проекты фонтанов, над которыми работал Домогацкий, не были осуществлены. В 1933 году им был создан эскиз фонтана «Рыбаки», предназначавшийся для украшения площади в Москве. Проект 1936 года выполнялся для одного из санаториев в Сочи. Фигура изображена в сложной позе – в полуобороте назад со склоненной головой и отведенными за спину руками. Она похожа на речную нимфу, которая, опустившись на колени, смотрит на свое отражение в воде. В этом произведении трактовке тела свойственна некоторая сухость и прозаичность, приглушающая лирическое настроение пластического мотива в целом. В основе произведения «Сидящая женская фигура» лежат штудии обнаженной натуры, выполнявшиеся Домогацким на протяжении всей творческой жизни. Дарование скульптора имело по преимуществу камерный характер, ему лучше удавались работы в станковых видах пластики, портретные бюсты и небольшие статуи кабинетного формата. Проект фонтана, хотя и представляет собой эскиз монументально-декоративного произведения, благодаря тщательной проработке деталей и продуманной компактной композиции воспринимается как статуэтка для камерного интерьера.